線型代数学（‘０４）

HOME 2004/11/08 1891715.doc 1 ＝線型代数学（‘０４）＝（ TV）〔主任講師：長岡亮介（放送大学教授）〕全体のねらい線型代数は数理諸科学はもちろん、いまや経済金融や統計の理論的な記述をはじめ、ほとんどすべてのシミュレーションの分野で不可欠の道具となっている。そしてますます開拓されて行く広範な応用を支えるのは、結果の利用ではなく、理論の確実な理解である。本科目は、線型代数(行列と行列式)の入門的部分についての知識を前提として、その知識の背後に潜む数学的諸原理を、その応用を視野において講ずるものである。多様な関心をもって本科目にアプローチしてくる学生諸君がそれぞれの分野での自在な応用ができるように、思想として広く、技法として確実な線型代数の理解を目標とする。また、国際化時代の学習環境を意識して放送講義では、一部に英語を取り入れる。数学は蓄積的な学問であるので、共通科目「線型代数入門」「初等微分積分学」を先に履修するのが好ましい。回テーマ内容執筆担当講師名 (所属･職名) 放送担当講師名 (所属･職名)

１抽象代数系の諸概念(1): 現代数学においてもっとも重要な枠組みの一つである‘構造’ (structure)の理解に向かい、もっとも基本的な‘代数構造’ として‘群’(group)を取り上げ、その基礎構造、とりわけ、剰余類、商群のような初心者に馴染みにくい概念の確実な理解を目指す。‘構造’を語る上で本質的な‘同型性’の概念を歴史的な概念を引用して確実な理解を目指す。長岡亮介（放送大学教授）長岡亮介（放送大学教授）

2 抽象代数系の諸概念(2): 前章で論じた抽象的な論述を肉付けするため、具体的な群の構造を紹介する。有限群の基本である巡回群をはじめ、変換群や2 面体群など、動的な映像を通じてでないと理解しにくい諸概念を紹介する。同上同上

3 抽象代数系の諸概念(3): 群より複雑な代数構造として、環と体について学ぶ。抽象的な構造だけでなく、いわゆる数体(実数体、複素数体，円分体) について、特に、その基礎にある複素数体について、その数学的合理化を含め、やや詳しく紹介する。同上同上

4 抽象線型空間: 群、環、体の概念の入り交じる総合的な代数構造として線型空間を導入する。「方向と長さをもった量」といった素朴なベクトルの概念の限界が克服されることがわかるはずである。同時に、「方向」や「大きさ」を論ずるために基礎的枠組みとして「計量」の数学的定義に進む。同上同上

5 線型写像の基本概念: 抽象的な線型空間から抽象的な線型空間への抽象的な線型写像(線型変換)の概念を定義し、それが行列という具体的な表現をもつことを示す。その際、線型空間の基底の選び方がその表現に本質的に関わって来ることを理解する。同上同上 2004/11/08 1891715.doc 2 回テーマ内容執筆担当講師名 (所属･職名) 放送担当講師名 (所属･職名)

6 線型写像の表現の単純化: 前章での理解を踏まえ、基底の選び方を変更すると、それが線型写像の表現にどのように関わってくるかのメカニズムを理論的に理解する。「基底の取り替え行列」と呼ばれる簡単そうで意外に難しい概念の確実な理解を目指す。長岡亮介長岡亮介

7 不変部分空間から固有ベクトルへ: 線型代数においてもっとも重要な三角化の話題に入るためのもっとも重要な理論的な準備を行なう。すなわち、線型変換は、それに関して‘不変’な部分空間をもつときには、形の良い行列で表現できる、という定理の紹介である。同上同上 8 固有値と固有ベクトルと行列の対角化: 前章の最後に論じる「不変部分空間の直和への分解」の究極の形として、固有空間(固有ベクトル)、固有値の概念が自然に登場することを示す。さらに、具体的な変換について、固有値、固有ベクトルの計算方法を示す。同上同上

9 複素行列の世界: 「想像上の数」を成分にもつ行列(複素行列)の世界でこそ、対角化についての議論が美しく単純に叙述できることを示す。エルミート行列、ユニタリ行列と呼ばれる有名な行列の重要性が納得できよう。同上同上

10 線型代数の応用: (1) --- 2 次形式: 前章で達成した「実対称行列は直交行列を用いて対角化できる」という定理を踏まえ、いわゆる2 次形式の分類を紹介する。これにより、一般的な2 次曲線、2 次曲面が、係数で作られる行列の計算だけで判定できることが実感されることになろう。同上同上

11 線型代数の応用 (2) --- 微分方程式: 同じく、応用として線型常微分方程式(ODE)の解法を取り上げる。線型常微分方程式は、17 世紀にその開拓が始まった数理科学の華ともいうべき強力な問題解決の方法である。これを統一的に論ずる方法は線型代数の応用として取り上げられる。同上同上

12 ジョルダンの標準形(1): すべての行列に「対角化」を望むことは理想的すぎる。「三角化」で甘んじることは消極的すぎる。両者の中間にあるのが、ジョルダンの標準形である。しかし、ここにたどり着くための「理論の山道」が険しすぎるため、最近では講義から避けられてしまうことも少なくない。本講義では、険しい道を迂回する方法で、ジョルダンの標準形に向かう。同上同上

13 ジョルダンの標準形(2): 前回を受けて、ジョルダンの標準形の計算方法を具体的に講ずる。同上同上 2004/11/08 1891715.doc 3 回テーマ内容執筆担当講師名 (所属･職名) 放送担当講師名 (所属･職名)

14 線型代数の応用 (3) --- ジョルダンの標準形と微分方程式: ジョルダンの標準形を利用することによって、解くことのできる線型常微分方程式の世界が拡大することを学ぶ。長岡亮介長岡亮介

15 線型の世界，非線型の世界: 線型代数の方法で世界を解析することの方法を総体的な視点から反省し、また、近年話題とされることの多い非線型の世界にはこの方法からの類推が通用しないことを様々な視点から考察する。さらに線型代数の新しい潮流にも触れる。同上同上