数理モデルとカオス（‘０５）

HOME 2004/11/05 1869213.doc 1 ＝数理モデルとカオス（‘０５）＝（ TV）〔主任講師：丹羽敏雄（津田塾大学教授）〕〔主任講師：長岡亮介（放送大学教授）〕全体のねらい数理的概念や方法を用いて、自然や社会などに見られる現象を理想化して得られるモデルを数理モデルという。本講座のねらいは、（１）この数理モデルの考え方の基礎を歴史的な展開も考慮しつつ調べること、及び（２）そのモデルを数学的方法やコンピュータなどを用いて解析すること、及び（３）数理モデルの有用性とその限界を理解することを目的とする。回テーマ内容執筆担当講師名 (所属･職名) 放送担当講師名 (所属･職名)

１数理モデルとは何か: 数理モデルは、主として自然界の対象の数理的な側面を数学その他の数理的言語によってその本質を捉えモデル化する。ここでは、歴史的にも最も古く完成された数理モデルであるプトレマイオス・モデルを例に取り、数理モデルとは何かを考える。丹羽敏雄（津田塾大学教授）長岡亮介（放送大学教授）丹羽敏雄（津田塾大学教授）

2 プトレマイオスの天体運行モデル: 数理モデルの典型でもあるプトレマイオスの惑星運行モデルは、離心円や周転円とその上の一様な回転という幾何学的な装置によって、複雑な惑星の運行をモデル化する。その基礎には三角関数の理論がある。ここでは、それらを簡単に紹介する。同上丹羽敏雄長岡亮介（放送大学教授）

3 運動の力学モデル: 近代の数理モデルの主力は微分積分を用いる解析学的なモデルである。ここでは、こうしたモデルの出発点にもなった、ガリレイの落体運動のモデルと、ニュートン力学を基礎にする振動現象を取り上げる。同上長岡亮介

4 万有引力の法則と２体問題: ニュートンによる万有引力の法則と運動方程式の発見と、それによる惑星の運動に対するケプラーの法則の証明は、近代の機械的な自然観を確立に大きく寄与した。ここでは、力学的モデルの例として２体問題を取り上げ、そのエッセンスを紹介する。同上同上

5 多体問題とカオス: ニュートン力学の範囲内においても、惑星の運動を完全に調べようとすると大きな困難にぶつかる。3 体問題がその典型である。ポアンカレに始まる現代の惑星運行理論はそこにカオスが内在することを発見した。ここでは、そのあらましを紹介する。同上丹羽敏雄長岡亮介 2004/11/05 1869213.doc 2 回テーマ内容執筆担当講師名 (所属･職名) 放送担当講師名 (所属･職名)

6 数理モデルと力学系: 現代の数理モデルの中で最も強力な方法は力学系の方法である。ここでは、その基本的な概念と、その解析に最も有効な不動点の概念とその周りの線形化について紹介する。丹羽敏雄長岡亮介丹羽敏雄長岡亮介

7 分岐現象: モデルの力学系に、そのモデルの「環境」を表すパラメータが存在するとき、そのパラメータの変化に伴って、分岐現象という極めて興味深い現象が現れる。ここでは、この分岐現象の最も基礎的な事柄について解説する。同上同上

8 ローレンツモデルとカオス: 現代の数理モデルにとってコンピュータは欠くことのできない道具である。ローレンツは気象現象をモデル化したローレンツモデルを、コンピュータを用いて研究する中で、一種の「予測不能性」を意味するカオスに遭遇した。ここでは、そのエッセンスを紹介する。これは分岐現象の１つでもある。同上同上

9 エルゴード問題と確率論的モデル: 原子論をもとにマクロ世界の現象を調べようとするものに、統計物理学がある。その数学的な基礎付けは今に至るも未解決の問題を含んでいる。その典型がエルゴード仮説の「証明」である。それに対する数学の努力の最高峰の1 つがシナイのビリヤードモデルである。ここでは、そのモデルと、関連するパイコネ変換を中心に紹介する。同上長岡亮介

10 ランダムウォークと拡散モデル: 様々な現象に対する確率論的なモデルの基礎になるのがランダムウォークの概念である。ここでは、その概念と、それに関わる確率論の中心的な定理でもある中心極限定理と拡散について説明する。同上同上

11 人口動態モデル: 人口動態を初めてモデル化したのはマルサスである。ここでは、そのモデルの改良であるロジスティックモデルと害虫の大発生をモデル化したものを中心に、生態学における基礎的なモデルを説明する。同上丹羽敏雄長岡亮介

12 ヴォルテラとメイの数理生態学モデル: 数理生態学の出発点にもなった、ヴォルテラの捕食者? 被捕食者モデルと競争モデル、および、離散的なモデルであるメイのモデルを中心に紹介する。後者はカオス理論の隆盛のきっかけとなった理論である。同上同上 2004/11/05 1869213.doc 3 回テーマ内容執筆担当講師名 (所属･職名) 放送担当講師名 (所属･職名)

13 チューリングモデル: 「生命」は機械的プロセスとして理解可能かを問うたのがチューリングである。ここでは、そのチューリングモデルと、そこから発展した反応拡散モデルを中心に紹介する。後者は生物の体表模様など、より複雑な現象を数理化しようとする際の基礎となっている。丹羽敏雄長岡亮介丹羽敏雄長岡亮介

14 生命の形態と射影幾何学: 巻貝の数学的な構造はよく知られているが、それを含み、卵の形も非常に厳密に、射影幾何学を通して理解することが可能であることをローレンス・エドワードは明らかにした。ここでは、こうした非常にユニークな幾何学的アプローチを紹介する。同上同上

15 数理モデルとコンピュータ: ここでは、最後のまとめとして、数理モデルの性格について考察を加えると共に、その解析に不可欠なコンピュータ使用にまつわる問題について考える。また、セル・オートマトンなど、これまで触れられなかった新しい概念についても調べる。同上同上